クイズ感覚で親も中学入試問題に挑戦!
「わかるオモシロさ」「解ける喜び」を再発見してください。 

次の文章を読んで後の問いに答えなさい。

制限時間 4分 難易度★★
芝中学校(平成27 年度 一部改)

    答えとなる5桁の整数は、252の倍数になるはずです。まずは252を素数の積の形になるように分解してみましょう。

大きな数は分解して考える数の性質にも目を向けよう

ソワ子 

2つも数字が抜けていると、どこから手をつけていいのか、さっぱりわかりません。何通りも考えられますよね。

先生

この5桁の整数というのは、252の倍数になるはずですよね。

ソワ子 

そうですね。

先生

そこで、252とはどういう数なのかを考えましょう。

ソワ子 

どういう数って……?

先生

252の倍数を考えようとすると、数も大きいしちょっと考えにくいですよね。そこで、素数の積の形になるように分解してみてください。素因数分解です。

ソワ子 

え?っと……、2×2×3×3×7となりました。

先生

つまり、この5桁の数は、2の倍数でもあるし、3の倍数、7の倍数でもあるということです。

ソワ子 

でも、2の倍数も、3の倍数も、たくさんありますよね……。

先生

もっと絞り込みたいですよね。そこで、さっき素因数分解したものをもう一度見てください。2×2=4なので、この5桁の数は、4の倍数と考えていいですよね。同様に、3×3=9から、9の倍数であるとも言えます。

ソワ子 

確かに、そうですね。

先生

 さて、4の倍数ということで、下2桁がかなり絞られます。

ソワ子 

……えっ、どうして?

先生

4の倍数ということは、下2桁は4で割り切れるはずですね。

ソワ子 

となると……、十の位は「2」と決まっているんだから、下2桁は、20か、24か、28でしょうか?

先生

はい。ですので、一の位は0か4か8になりますね。

ソワ子 

かなり絞れましたね。

先生

次に、9の倍数であれば、各位の数の合計が9で割れますよね。

ソワ子 

そうなんですか?

先生

それが9の倍数の性質です。

ソワ子 

そんな性質があるんですね! すっかり忘れてました。

先生

この場合、□+1+9+2+□が9の倍数になるはず。1+9+2=12ですから、□+ 12 +□が9の倍数になる場合を考えましょう。

ソワ子 

ということは……、□+12+□が、18か27になるんですね。

先生

はい。そして、先ほど求めたように、□のうちの一つは、0か4か8になりますよね。これを一つずつ当てはめて、もう一つの□を求めましょう。

ソワ子 

計算すると……、3通りあります。一番上の桁と、一番下の桁の数の組み合わせとしては、(6,0)、(2,4)、(7,8)。

先生

では、その3組の数を□にあてはめて、5桁の整数の形にしてみてください。

ソワ子 

えっと、61920、21924、71928ですね。

先生 

最初の素因数分解の結果から、この5桁の整数は、7の倍数であることもわかっていますから、それぞれ、7で割ってみましょう。

ソワ子 

割り切れるのは、21924だけですね!

先生 

それが答えになります。つまり、□に入るのは、2と4ですね。

ソワ子 

数の性質をきちんとわかっていないと、太刀打ちできませんね。

先生 

はい。数についてしっかりと学べる問題になっています。

252を素因数分解し、素数の積の形で表すと、252=2×2×3×3×7 となります。よって、252で割り切れるなら、2×2=4で割り切れるはずなので、4の倍数だと考えられます。4の倍数であれば下2桁は4の倍数になるので、一の位は0、4、8のいずれかとわかります。また、252で割り切れるなら、3×3=9で割り切れるはずなので、9の倍数だと考えられます。9の倍数であれば各位の数字の和は9の倍数になるので、□+1+9+2+□=□+12+□が9の倍数となります。□に入る可能性のある数は最大で9なので、□+12+□は、18か27のいずれかと考えられます。□のうち一つ(下1桁)は、0、4、8と決まったので、それぞれ、数を当てはめて、もう一つの□(上1桁)を求めます。下1桁が0の場合は、18-(12+0)=6下1桁が4の場合は、18-(12+4)=2下1桁が8の場合は、27-(12+8)=7したがって、□に入る数の組み合わせとしては、(6、0)(2、4)(7、8)の3通り。つまり、5桁の整数は61920、21924、71928のいずれかとなります。さらに、252で割り切れるなら、7で割り切れるはずです。61920、21924、71928を7で割ってみると、61920÷7=8845余り5、21924÷7=3132、71928÷7=10275余り3となります。したがって、5桁の整数は21924です。
A.2、4

今年の夏は淡路島や室戸岬を旅して、自然を満喫してきました。皆さんも、夏休みはどこかにお出かけしましたか?

井上 幸治先生
四谷大塚人形町校舎主任教授。趣味は列車の旅。日本中を回っています。

シンプルな問題文ですね!シンプル過ぎてどうやって考えればいいのか……。 

逸茂ソワ子さん
子どもへの愛情深さゆえに心配性でいつもソワソワのお母さん。息子は小5。

取材・文/西田知子 写真/石井和広、山本倫子 イラスト/曽根愛

今月の新刊案内
仕事について考えてみる秋
「子どもには世界を視野に入れて夢を追ってほしい」と考えているお父さんお母さんに、ぜひ読んでいただきた...>>続きを読む
今月の新刊案内
深まる秋を彩る秀逸な物語たち
児童文学のノーベル賞とも言われる国際アンデルセン賞作家賞を受賞した上橋菜穂子さん。大人も夢中にさせる...>>続きを読む
サイトマップ
人気記事ランキング
01 特集
そのひと言が子どもを変える! 学力を伸ばすほめ方・励まし方
02 スペシャルウィーク
9歳までに身につけたい国語力
03 子育てに効く脳科学のお話
頭をよくする方法はある?

サイト内検索
 

RSS登録
これまでの特集記事



気になる記事ピックアップ
これまでに公開された記事の中から気になる記事をランダムでピックアップし、表示しています。