クイズ感覚で親も中学入試問題に挑戦!
「わかるオモシロさ」「解ける喜び」を再発見してください。 

1から12までの数字を書いたカードが1枚ずつ合計12 枚あります。この12 枚を上から1、2、3、…、11、12と重ね、次の2 通りの方法でカードを混ぜます。

問1 最初の状態から、Aを繰り返すとき、初めて元の状態に戻るのは何回目ですか。
問2 最初の状態から、Bを3回行うとき、2の数字が書かれたカードは上から何番目にありますか。
問3 最初の状態から、Aを1回行った後、Bを何回か繰り返し、最後にAを1回行ったところ、12の数字が書かれたカードが一番上にありました。Bは最低何回行いましたか。

制限時間 10分 難易度★★★
芝浦工業大柏中学校 "第2回"(平成24 年度 一部改)

   Bを行うとカードはどうなるのか、すべて書き出しましょう。書けば規則性が見えてきます。

書き出して規則性を見つけ出したら手間を惜しまずに書く練習を

カチ恵 

少々面倒ですけれど、1つずつ書いていってもよろしいのかしら?

先生

そうして書くことが大切なんです。問1はどうなりましたか?

カチ恵 

3回目ですわね(図1参照)。

先生

正解です。では、問2はいかがでしたか?

カチ恵 

答えは出ましたけれど、BはAよりも動き方が複雑で……、とても骨が折れてしまいましたわ。

先生

実は、ここでBの動き方をしっかりと書き出しておくことが、問3にもつながります。問2は、3回目まで書き出せば解けますが、書く練習も兼ねて、ここでは10回目まで書き出してしまいましょう。

カチ恵 

はい……。やはり、慣れていないと時間がかかってしまいますわね。

先生

子どもたちは自分なりに書き方をいろいろと工夫しています。図や表を速く書けるように、日頃から練習しておくことが大切です。

カチ恵 

できました。2のカードの位置を確認すると……、9番目(図2参照)。図にすれば一目瞭然ですわね。でも、問3はこんなに単純に解けそうにありませんわ。

先生

これも、書き出しながら考えてみましょう。最初にAを1回行うと、12のカードはどこに移動しますか?

カチ恵 

上から8番目です。

先生

その8番目にあったカードが、Bを何回か行った後にAを1回行うと、最後は一番上にくるんですよね。ということは、最後にAを行う直前には、どの位置にあればいいでしょう?

カチ恵 

下の束の一番上にあるカードですから……、上から5番目ですわね。

先生

つまり、Bを何回か行うことによって、上から8番目にあったカードが5番目に移動したと考えられます。

カチ恵 

なるほど。つまり、8番目にあったカードが5番目に移動するには、何回Bを繰り返せばいいのかを考えればいいんですね。

先生

そうです。そこで、Bはどんな動き方をするのか、確認しましょう。問2でBの動き方を10回目まで書き出しましたよね。その表を使いましょう。

カチ恵 

はい。この表では、8番目にあるカードは8。そして、8のカードが5番目にくるまでには……、5回動かしていますわね(図2参照)。

先生

その通りです。手間を惜しまずに、丁寧に書き出していけば解けますね。あとは、この数字の並びの規則性がわかると、もっと簡単に解けます。

カチ恵 

まあ、この数字の並び方に規則性がありますの?

先生

もう一度、Bの表を数字の並びに注意して見てください。何か気がつきませんか?

カチ恵 

Bを何回行っても、1と12は位置が動かないんですね。あとの10個の数字はランダムに並んでいるように見えますが……。

先生

表の縦の列を見てください。たとえば2から始まる列は、2→7→4→……と続き、10回目で2に戻ります。

カチ恵 

あら!その右の列は、3→2→7→4→8……→3。ほかの列も数字の順番は同じなんですね!

先生

そうです。10個の数字は循環しているんです。

カチ恵 

規則性がわかると、答えがスムーズに導けますわね。

A. 問1:3回目 問2:9番目 問3:5回

問1 下の図1のようにAを3回行うと、初めて元の状態に戻ります。


問2 下の図2のようにBを3回行うと、2のカードは上から9番目になります。


問3 最初の状態からAを1回行うと、一番下にあった12のカードは上から8番目に移動します。また、最後にAを行うと12のカードが一番上になることから、Aを行う直前の状態では、12のカードは上から5番目にあることがわかります。つまり、Bを行うことで、上から8番目のカードが上から5番目に移動したことになります。図2のようにBを5回行うと、上から8番目にあるカード(8)が上から5番目に移動します。

今回の問題に限らず、算数は手を動かして書くことが大切。見通しが立つまで、きちんと書くことを心がけましょう。

大石 直之先生
四谷大塚上大岡校舎専任講師。健康のためにジム通いをしている。

ただ漠然と書いていてはなかなかルールに気づけません。規則性を考えながら取り組む姿勢が必要ですわね。

真堅カチ恵さん
何ごともカッチリ、キッチリ進める教育お母さん。子どもは中2と小6兄弟。

取材・文/西田知子 写真/アーク・フォトワークス(清水亮一)、石井和広 イラスト/曽根愛

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