クイズ感覚で親も中学入試問題に挑戦!
「わかるオモシロさ」「解ける喜び」を再発見してください。 

下の図のような台形ABCDがあります。点P、QはそれぞれD、Cを同時に出発し、点Pは辺DA上を、点Qは辺CB上を何回か往復します。2点はともに毎秒2cmの速さで動き、点PがDに、点QがCに同時に来たときに止まります。このとき、4点A、B、Q、Pで囲まれる図形について、次の問いに答えなさい。

 

問1 2点が出発して10秒後から15秒後までの間は、この図形の面積は2点が動いても変わりません。そのときの面積を求めなさい。

問2 問1のように、2点P、Qが動いてもこの図形の面積が変わらない時間がほかに2回あります。それは出発して何秒後から何秒後までですか。2回とも答えなさい。


制限時間 8分 難易度 ★★★☆☆
浦和明の星女子中学校(第1回)(平成25年度 一部改)

  三角形から台形へと形が変わっても、面積が変わらないのはなぜか。その理由を考えてみましょう。

変化を明確に捉えるための基準となる数値を可視化しよう

カチ恵 

10秒後も15秒後も変わらないのでしたら、どちらで面積を求めても構わないということですわよね。

先生

そうなりますね。

カチ恵 

では10秒後として、点Pも点Qも20㎝ずつ進んだところですから……100平方cmです。

先生

正解です。

カチ恵 

こんな単純な答えでよろしかったのかしら?

先生

次の問題は、そう簡単にはいかないと思いますよ。

カチ恵 

これと同じ「面積が変わらない時間」が、まだほかに2回もあるということですね。点の動きを追って面積を出すことはできるかもしれませんけれど、途中でさっぱり、わけがわからなくなってしまいそうですわ。

先生

その方法では限界がありますね。問1が大きなヒントですよ。

カチ恵 

あら、そうでしたの?

先生

もう一度、戻って考えてみましょう。10秒後のAB(Q)Pはどんな形でしたか?

カチ恵 

三角形ですわ。

先生

15秒後には?

カチ恵 

やはり、三角形です。

先生

その間の少しだけ動いたときはどうでしょうか?

カチ恵 

台形ですわね。

先生

はい、その通り。三角形から台形に形が変わっています。しかし、面積は変わらない。それはなぜなのかを考えてみてください。

カチ恵 

なぜ……。難しいですわね。

先生

では、台形の面積の求め方は?

カチ恵 

確か、"(上底+下底)×高さ÷2"でしたわよね。

先生

そうですね。ABQPで囲まれる図形は、三角形でも台形でも高さは同じですから……。

カチ恵 

そういうことでしたのね! "面積が変わらない時間"というのは、"「上底+下底」の値が一定である時間"ということですわ。

先生

その通りです。

カチ恵 

でも、その数値の変化をどうすれば捉えられるのか、全く見当がつきませんわ。

先生

可視化することです。

カチ恵 

可視化? 図や表にするということでしょうか。

先生

グラフの縦軸を上底APと下底BQの長さとします。

カチ恵 

なるほど、横軸に時間を設定すれば、時間の経過による変化がよくわかりますわ。

先生

実際に、グラフを書いてみてください。

カチ恵 

少し面倒な気がしますけれど、ここで手間を惜しんではいけませんのね。

先生

さて、できましたか? グラフを見れば、もう答えはおわかりではないでしょうか。

カチ恵 

要するに、10秒から15秒の間と同じく、一方の値が減り、一方の値が増えているところですわよね。

先生

そういうことです。

カチ恵 

グラフを見れば一目瞭然。20秒から40秒、45秒から50秒です。

先生

はい、正解です!

カチ恵 

グラフさえできれば、とても楽に解ける問題ですわね。ただ、制限時間内にグラフにすることに気がつき、実際に書くことを考えると、かなりの難問ですわね。

A.
問1:100平方cm
問2:20秒後から40秒後、45秒後から50秒後


問1:  10秒後のAB(Q)Pは、下図の形になります。したがって、10×20÷2=100cm2です。
問1解説

問2:  ABQPで囲まれる図形を台形と考えると、面積が変わらない="上底(AP)+下底(BQ)"が変わらないと考えられます。APの長さ、BQの長さをグラフに表すと、次のようになります。
問2解説

勝負の夏休みまで、あと1か月となりました。夏を乗り切るためにも、今からしっかりとおさらいをしておきましょう。

田澤 亘先生
四谷大塚南浦和校舎専任講師。趣味はダーツ。理科担当の宇野先生はダーツ仲間。

問1はすぐに答えが求められますわよね。でも、その先が……。一体何を基準にすればいいのかしら?

真堅カチ恵さんさん
何ごともカッチリ、キッチリ進める教育お母さん。子どもは中2と小6兄弟。

取材・文/西田知子 写真/アーク・フォトワークス(清水亮一)、石井和広 イラスト/曽根愛

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