クイズ感覚で親も中学入試問題に挑戦!
「わかるオモシロさ」「解ける喜び」を再発見してください。 

図のように点Aと点Bを中心とする半径3cmの2つの円が点Cと点Dで交わっています。斜線部分の面積は何c㎡ですか。

 

制限時間 6分 難易度 ★★★★☆
早稲田中学校 第2回(平成24年度 一部改)

補助線をうまく使って、面積が求められる図形をつくりましょう。

曲線に注目、おうぎ形をつくろう特殊な形に気づくのがポイント

キビ子

ふたつの円が重なっているわけですよね。75度にはどんな意味があるのかしら? 
手がかりをいただきたいですわ。

先生

左右対称の形ですから、片方の面積を求めればいいというのは気づかれましたよね。

キビ子

あとで2倍するんですね。

先生

そうです。続いて、曲線に注目します。斜線の部分は曲線に囲まれていますよね。曲線を含む図形の面積を求めるときは、おうぎ形をつくる。これが鉄則です。

キビ子

なるほど、ようやく道筋が見えてきた気がしますわ。

先生

外側の弧の中心はどこですか?
コンパスの針を刺すところをイメージしてみてください。

キビ子

Aですわ(図1参照)。

先生

では、内側の弧の中心は?

キビ子

Bですわ(図2参照)。CADとCBD、ふたつのおうぎ形の面積を求めて、重なる部分を引けばよろしいんですのね。あら、でも、それには真ん中のひし形の面積も求めなければなりませんわ。

先生

はい、ここまでが第一段階です。ひし形の面積がわかれば、第2のステップに進めます。

キビ子

すっかりわかったつもりでしたのに、まだ先があるんですのね。

先生

実はこのひし形は特殊な形で、受験生ならピンとくるはずです。

キビ子

まあ、そうなんですの?

先生

ひし形はふたつの二等辺三角形に分かれます。そのひとつを取り出して考えてみましょう(図3参照)。長い辺(CA、CB)の長さは何cmでしょう。

キビ子

半径の3cmですわね。

先生

辺の長さがわかれば、次は高さです。ここで75度が関わってきます。角Cは何度ですか?

キビ子

180度から75度ふたつ分を引いて、30度です。

先生

では、二等辺三角形ABCの高さはどこになりますか?

キビ子

辺ACを底辺と考えると……Bから辺ACにまっすぐ線を降ろした長さですわよね。

先生

その通り。辺ACと直角に交わります。角Cは30度ですから、もうひとつの角は何度でしょう?

キビ子

60度ですわ。

先生

30度、60度の直角三角形といえば、特別な三角形です。実は、正三角形の半分になるんです。

キビ子

では、高さは3㎝のちょうど半分、1.5㎝ということですね。こういう方法で求められるなんて、思いもしませんでしたわ。

先生

普段からトレーニングしている子どもなら、すぐに出せると思いますよ。あとは、計算だけです。おうぎ形CBDから二等辺三角形ABC2個分を引いて、さらにその数をおうぎ形CADから引きます。

キビ子

そして、最後に2倍ですわね……できました。18.42c㎡でよろしいのかしら??

先生

正解です!

キビ子

こんなにも鮮やかに答えが出せるものなんですね。

A. 18.42c㎡
おうぎ形CADから白い部分を引いて2倍して求めます。おうぎ形CADの中心角は、360-75×2=210度。
よって、おうぎ形CADの面積は、
3×3×3.14×210/360=21/4×3.14c㎡
白い部分の面積は、おうぎ形CBDから二等辺三角形ABC2個分を引いて求めます。図3の赤い部分が正三角形の半分であることを利用すると、高さが1.5cmとわかります。
よって、3×3×3.14×150/360-3×1.5÷2×2=15/4×3.14-4.5c㎡
{21/4×3.14-(15/4×3.14-4.5)}×2=18.42c㎡

図形が嫌いな子は、少し易しい問題から始めてみてください。まずは解ける感覚を掴んで、苦手意識を克服しましょう。

蛭田 栄治先生
四谷大塚豊洲校舎長。授業も多数受け持つ。趣味は海外旅行。

「図形はセンスが必要」と思いがちですけれど、訓練が大切だということがよくわかる問題でしたわね。

教育キビ子さん
教育熱心で、物事をキビ
キビと進める。子どもは
小6と小4の兄妹。

取材・文/西田知子 写真/石井和広 イラスト/丹下京子



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