お母さんもオモシロく取り組める中学入試問題を集めました。
クイズ感覚で挑戦して、「わかるオモシロさ」「解ける喜び」を味わってください。

     

(1)144を整数Aで割ると、余りが20になりました。整数Aとして考えられるものを小さいほうから順にすべて答えなさい。

(2)12で割ると商と余りが等しくなるような整数Bは全部で何個ありますか。ただし、Bは1以上の整数とします。

制限時間5分 難易度★☆☆☆☆
聖光学院中学校(平成22年度 一部改)

1 割る数は、余りより大きい。 2 約数とは、ある数を割れる数のこと

「数」は算数の女王!華麗かつ深淵なる論理を展開

先生第1回は基本的な問題からスタートしましたが、出来はどうでしたか。

フワ美うーん、私には難しく感じられました。本当に基本的なんですか?

先生ええ。四谷大塚のテキストで言えば、予習シリーズ5年㊤のはじめに出てくる内容です。ただ、基本とは、初歩的という意味ではありませんよ。算数の入試問題を解くために必要な道具といってもよいと思います。

フワ美道具をいろいろ忘れてきてしまったみたいで……。余りとか出てくると、わけがわからなくなるんです。

先生余りがなければ、すっきり割り切れてよいのに、余りがあるからイヤな感じがする、と。ならば、そのイヤな余りをなくすことを考えましょう。それが解答への第一歩になりますよ。

フワ美余り20をなくす?

先生そうです。フワ美さんがハンバーグを144個作ったとしますね。それを何人かで分けたら20個も余った。この何人かがAです。はじめから20個少なく作っておけば、余りなくぴったりと割り切れたはずですよね。だから144から20を引くのです。

フワ美ふむふむ。144から20を引くと124。124を割り切る数がAなんですね。

先生その通りです。124を割り切る数のことを124の約数と言います。ただ、ひとつ注意しなければいけないのは、124の約数全部が答えではないということです。

フワ美えっ、どうしてですか?

先生ここで思い出さなければいけないのは、余り20です。イヤな余りだから、とりあえずは引き算をしてなくしたのですが、余った事実までは消せません。先ほどの、ハンバーグが20個余った話に戻ると、分けた人数が2人や4人ということがあるでしょうか? 余った20個がさらに分けられてしまいます。分けた人数は余りの20より大きい数でないと、20個余ることはありませんよね。

フワ美あっ、なるほど! 割る数は、余りより大きい数なんですね。

先生ご名答です。それがここでの大切な「基本」ということになります。次の問題も同様に考えましょう。商と余りが等しくなるので、商と余りを□などとおいて式で表してみます。

フワ美それが解説の式ですね。

先生そうです。ここでも「基本」を使うと、余りの□は、割る数12より小さいはずですね。だから□は1から11までの数になるのです。

フワ美だからBも11個あるってことですね。よくわかりました!

先生「数」は難関校をはじめとして多種多様に出題され、難問も多いです。条件はシンプルですが奥が深く、基本をエレガントに使うことが多いので、たとえると、算数の王国の女王(クイーン)といったところでしょうか。

フワ美きっと美しいんでしょうね。アリスみたいに算数の王国に迷い込むと思えば、算数が楽しくなりそう!

先生ふふ、お楽しみに。来月は、王様格の「図形」を紹介しましょう。

A.(1)31,62,124 (2)11個

(1)

余りが20ですから、割る数Aは20より大きいことがわかります。
Aは、144-20=124の約数のうち、20より大きいものです。
124=1×124
   =2×62
   =4×31
ですから、31,62,124です。

 

(2)

B÷12=□あまり□
ですから、□は12より小さいことがわかります。
B=12×□+□=13×□
□=1から11までのすべての整数になることができるので、Bも11個あります。

これからの1年間で、比や速さなどの各分野を、算数という王国の中の登場人物にたとえてお話していきます。

松寺政幸先生
四谷大塚所沢校舎専任講師。得意なスポーツは水泳。

夢見フワ美さん
フワフワした雰囲気の、少し夢見がちなお母さん。小4の息子がいる。

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